Substellaren Masseobjekten läßt sich ähnlich einem gewöhnlichen Stern eine Leuchtkraft L zuordnen, welche die Energiemenge angibt, die pro Zeiteinheit in den kosmischen Raum abgestrahlt wird. Diese Energie stammt aus verschiedenen internen Quellen sowie aus der Strahlung, die sie u.U. (Gasplaneten) von ihrem Mutterstern erhalten. Der letztere Anteil soll in folgender Diskussion jedoch keine Rolle spielen.
- der Wärmeinhalt, der bei der Entstehung akkumuliert wurde (primordialer Wärmeinhalt)
- die Energie, die (bei Braunen Zwergen) während der Phase des thermonuklearen Brennens erzeugt wird
- die Umwandlung potentieller Gravitationsenergie gemäß dem Virialsatz in interne Aufheizung und Abstrahlung im Zuge der Helmholtz-Kelvin-Kontraktion
- die Energiefreisetzung durch gravitative Entmischung von Stoffen unterschiedlicher Dichte (z.B. Wasserstoff und Helium bei den Riesenplaneten des Sonnensystems)
- die Energiefreisetzung bei eventuell stattfindenden Phasenumwandlungen
- die Energiefreisetzung durch radioaktive Zerfallsprozesse, insbesondere im Kernbereich
Sie alle liefern einen vom Alter des jeweiligen Objekts abhängigen Beitrag zur Leuchtkraft, die sich ab dem Zeitpunkt von deren Konsolidierung und Stabilisierung näherungsweise durch Potenzgesetze modellieren läßt.
5.50 Leuchtkraft als Funktion des Alters für massearme Rote Zwerge (blau), Braune Zwerge (grün) und Gasplaneten (rot) unterschiedlicher Ausgangsmasse. Der Wert „0“ auf der Ordinate entspricht der Sonnenleuchtkraft und der Wert „0“ auf der Abszisse ein Alter von einer Milliarde (Gyr) Jahre (logarithmische Skala beachten!). Die farbigen Punkte geben jeweils den Zeitpunkt an, wo 50% des Deuterium-Inhalts (braun) bzw. Lithium-Inhalts (lila) durch Fusionsprozesse aufgebraucht sind. © A.Burrows et.al.
Von A.Burrows et.al. (2001) wird z.B. für substellare Objekte, deren Metallizität ungefähr dem der Sonne entspricht, folgendes zugeschnittene Gleichungssystem angegeben, welches die Berechnung der Leuchtkraft L als Funktion der Abkühldauer t in Abhängigkeit von der Ausgangsmasse M ermöglicht (die Oberflächengravitation g und der mittlere (Rosselandsche) Opazitätskoeffizient κ der Atmosphäre sind im cgs-System anzugeben):
Der Opazitätskoeffizient κ ist bekanntlich eine sehr wichtige Kenngröße in der Theorie des Strahlungstransports durch die Atmosphäre eines Braunen Zwerges oder eines Gasplaneten. Er erlaubt beispielsweise die Berücksichtigung der „Durchsichtigkeit“ von Wolken unterschiedlicher chemischer Zusammensetzung (z.B. aus Silikat- oder Metalldämpfen bei entsprechend hohen Temperaturen) auf das Emissionsvermögen des entsprechenden Himmelskörpers. Andere Metallizitäten führen zu anderen Exponenten in den zugeschnittenen Gleichungen.
Die effektiven Temperaturen von Gasplaneten und Braunen Zwergen überdecken ungefähr den Bereich zwischen 80 K und 3000 K. Oberhalb von 3000 K beginnt der Bereich der Hauptreihensterne (Rote Zwergsterne), die ihren Energiebedarf durch Wasserstoffusion decken.
In Abb. 5.50 sind Abkühlungskurven L(t) für verschiedene Ausgangsmasse M eingetragen. Die blauen Kurven (Massebereich zwischen ~80 und 211 MJ) repräsentieren Rote Zwergsterne. Man erkennt, daß ihre Leuchtkraft zuerst langsam abnimmt (Kontraktionsphase) um sich dann zu stabilisieren und weitgehend konstant zu bleiben. Der „Knick“ im Übergang zu einer konstanten Leuchtkraft kennzeichnet das Zünden des Wasserstoffbrennens, welche die Energie für eine Lebensdauer von einigen 10 bis 1000 Milliarden Jahren (in Abhängigkeit ihrer Masse – je geringer die Masse, desto größer die Verweildauer auf der Hauptreihe) liefern kann.
Die grünen Linien kennzeichnen die Entwicklungswege verschiedener Brauner Zwerge im Massebereich zwischen ~15 MJ und ~73 MJ. Hier ist insbesondere der erste Teil der Kurven interessant. Er verläuft weitgehend gerade oder nur schwach geneigt zur Abszisse und zeigt im vorderen Teil die Phase des Deuteriumbrennens und im mittleren Bereich, bei Massen oberhalb von 65 MJ, die Phase des Lithiumbrennens an, wo sich der Braune Zwerg quasi wie ein leuchtkraftschwacher Stern verhält. Die farbigen Punkte auf den Kurven geben dabei jeweils den Zeitpunkt an, wo genau die Hälfte des Deuteriums (braun) bzw. die Hälfte des Lithiums (lila) verbraucht ist. Nach dem Erlöschen der Fusionsprozesse beginnt dann der eigentliche Prozeß der Abkühlung, dessen Rate sich nicht von der Abkühlungsrate von Gasplaneten (rote Kurven) unterscheidet.
Da sowohl Braune Zwerge als auch massereichere Gasplaneten durch den Entartungsdruck des Elektronengases in ihrem Inneren stabilisiert werden, kann man auch einen ähnlichen bzw. analogen inneren Aufbau erwarten. In der Abkühlungsphase erscheint deshalb die Massegrenze von ~13 MJ recht künstlich, was noch einmal den heuristischen Charakter dieser Grenzmasse unterstreicht.
Innerer Aufbau – Zustandsgleichungen
Die mechanischen und thermodynamischen Eigenschaften entlang des Radius eines Braunen Zwerges bzw. eines Gasplaneten werden durch die Zustandsgleichungen der Stoffe festgelegt, aus denen diese Himmelskörper aufgebaut sind. Leider gehört sowohl deren theoretische Ableitung aus mikrophysikalischen Eigenschaften als auch die experimentelle Bestimmung von Zustandsgleichungen (z.B. für Wasserstoff-Helium-Gemische, für „Fels“ und „Eis“) zu den schwierigsten Aufgaben der theoretischen- und der experimentellen Physik, sobald man die experimentell zugänglichen Parameterbereiche von Druck und Temperatur verläßt. Und das ist ja bekanntlich bei differenziert aufgebauten Planeten der Fall. In ihren äußeren Regionen, wo Druck und Dichte gering sind, hat man es mit gewöhnlichen molekularen oder atomaren Neutralgasen zu tun, bei denen die Zustandsgleichung für ideale Gase
eine recht gute Näherung darstellt. Bei steigendem Druck, d.h. in tieferen Regionen eines Gasplaneten, beginnen Wechselwirkungen zwischen den Atomen und Molekülen wesentlich zu werden, die man bei einem idealen Gas vernachlässigen kann. So kommt es zur Teil- oder vollständigen Dissoziation von Molekülen, zur druckbedingten Ionisation, zu Phasenübergängen (z.B. in die metallische Phase bei Wasserstoff), zu Kondensationen (Helium) bis hin zur Bildung eines entarteten Elektronengases im Kernbereich, dessen temperaturunabhängiger Entartungsdruck zur mechanischen Stabilisierung massereicher Gasplaneten und Braune Zwerge führt.
Bei Gasplaneten, die entsprechend der kosmischen Elementehäufigkeit überwiegend aus einer Hülle aus Wasserstoff und Helium bestehen, hängt z.B. bei gegebener mittlerer Dichte der Radius entscheidend vom Verhalten der Zustandsgleichung bei hohen Drücken ab. Ein Planet, der sich weniger stark komprimieren läßt, hat z.B. bei gleicher innerer Zusammensetzung einen größeren Radius als ein Planet, dessen Zustandsgleichung (genauer, die seiner Hauptbestandteile H/He) eine größere Kompression ermöglicht. Für die quantitative Modellierung substellarer Objekte ist deshalb eine möglichst genaue Kenntnis der Zustandsgleichungen der sie aufbauenden Materie von essentieller Bedeutung.
Zustandsgleichung für Wasserstoff und Helium
Für Drücke kleiner als 100 GPa ist das Verhalten von molekularen Wasserstoff H2 recht gut bekannt. Dazu haben neben experimentellen Untersuchungen (Schockwellenexperimente) auch quantenmechanische Berechnungen ab-initio beigetragen, die wiederum die Extrapolation in Druckbereiche ermöglichten, die der experimentellen Forschung nicht zugänglich, im Innern von Gasplaneten und Braunen Zwergen aber realisiert sind. Eine solche semiempirische Zustandsgleichung ist die Saumon-Chabrier-VanHorn Equation of State, welche einen großen Parameterbereich in Bezug auf Druck und Temperatur überdeckt und auch die druckinduzierte Dissoziation und Ionisation von molekularen Wasserstoff mit einschließt (D. Saumon et.al. 1995). Sie konnte in den letzten Jahren durch numerische Rechnungen in einzelnen Bereichen weiter verbessert werden, was u.a. zu einem besseren Verständnis des Hochdruckverhaltens in der flüssigen metallischen Phase von Wasserstoff geführt hat.
Phasendiagramm von Wasserstoff
Wasserstoff liegt unter Normalbedingungen als überwiegend molekulares neutrales Gas vor. Erst bei Temperaturen oberhalb von 3000 K beginnt es zu dissoziieren und in die atomare Form überzugehen (das Konzentrationsverhältnis H2⁄H ergibt sich im thermodynamischen Gleichgewicht aus der Saha-Gleichung). Bei noch höheren Temperaturen ionisieren die Atome und es entsteht ein Plasma aus Protonen und Elektronen (Wasserstoffplasma). In dieser Form liegt der Wasserstoff in den Sternatmosphären vor.
5.51 Vereinfachtes Phasendiagramm für molekularen und (rechts von der Dissoziationsgrenze) atomaren Wasserstoff unter den Bedingungen, wie sie im Innern von Gasplaneten herrschen. Der schattierte Bereich kennzeichnet ungefähr die Region, wo Helium und metallischer Wasserstoff im Gleichgewicht nicht koexistieren können. © M.S.Marley
Bewegt man sich entlang einer Adiabaten immer tiefer in das Innere eines Gasplaneten wie z.B. Jupiter, dann werden mit steigendem Druck die Wasserstoffmoleküle mehr und mehr aneinander gepreßt und die Wechselwirkung zwischen den Molekülen wird stärker, wodurch das Gas stufenlos in eine nichtideale Flüssigkeit übergeht. Bei weiter ansteigendem Druck (was einer Erhöhung der Dichte entspricht) erreicht der mittlere Abstand der Wasserstoffatome irgendwann den Wert von ungefähr 2 Bohr-Radien, ab dem sich die Wellenfunktionen der Nachbaratome zu überlappen beginnen. Die Elektronen lösen sich von ihren Atomen und bilden zwischen den Atomrümpfen ein leitfähiges Gas (in der Festkörperphysik würde man sagen, die Elektronen wandern vom Valenzband in das Leitungsband): Aus der Flüssigkeit entsteht ein fluides ionisiertes Plasma. Thermodynamisch gesehen handelt es sich bei diesem Vorgang um einen Phasenübergang erster Ordnung, den man als plasma phase transition bezeichnet. Der Wasserstoff verhält sich anschließend wie ein Alkalimetall („metallischer Wasserstoff“, E.Wigner, 1935) und ist mit hoher Wahrscheinlichkeit sogar supraleitfähig (N.W.Ashcroft, 1968). Bei welchen Werten von T und P der Phasenübergang genau stattfindet, ist nur näherungsweise bekannt. Bei einer Temperatur von T~3000 K liegt der Übergangsdruck ungefähr bei 140 GPa, wie Schockwellenexperimente am Lawrence Livermore National Laboratory ergeben haben. Dieses Ergebnis läßt sich aber nur bedingt auf die Verhältnisse in substellaren Objekten übertragen, da dort u.a. Mischungen mit Helium und anderen Stoffen vorliegen, die Einfluß auf den metallisch-nichtmetallisch-Phasenübergang nehmen. Aus diesem Sachverhalt (der sich aus der Unkenntnis der genauen Zustandsgleichung im fraglichen Temperatur-Druck-Bereich ergibt) erklärt sich beispielsweise die „Unschärfe“ für den Tiefenbereich im Innern Jupiter und Saturns, wo der Phasenübergang zum metallischen Wasserstoff genau erfolgt.
Helium und Wasserstoff-Helium-Gemische
Über die Zustandsgleichung und über das Phasenverhalten von Helium bei sehr hohem Drücken ist sehr viel weniger bekannt als von Wasserstoff. Das gilt noch mehr für Mischungen aus beiden Stoffen, wie man sie im planetologischen Kontext im Inneren von Gasplaneten erwartet.
Schockwellenexperimente ergaben für Helium eine höhere Kompressibilität im Vergleich zu Wasserstoff, was mit theoretischen Erwartungen gut übereinstimmt. Von viel größerer Bedeutung für die Planetologie ist jedoch der Umstand, daß die Löslichkeit von Helium in Wasserstoff in bestimmten Parameterbereichen nicht gegeben ist, was eine Übersättigung zur Folge hat. Das ist ähnlich wie im Zentrum der Sonne, wo es im Laufe der Sternentwicklung zu einer Entmischung von Wasserstoff und Helium kommt und sich ein stetig wachsender Helium-Kern ausbildet.
5.52 Im Inneren Jupiters (und noch ausgeprägter bei Saturn) existiert im Übergangsbereich zwischen molekularen und metallischen Wasserstoff eine Schale, in der sich Wasserstoff und Helium entmischen, wobei Heliumtröpfchen (in denen sich wiederum das Edelgas Neon löst) entstehen, die dort quasi „ausregnen“. Etwas tiefer, im Bereich des metallischen Wasserstoffs, ist dagegen wieder Mischung möglich. Diese „Entmischungszone“ kann recht gut die von der Sonde Galileo gemessene Verarmung der Jupiteratmosphäre an Neon erklären. © Wilson, Militzer 2010
Im Phasendiagramm Abb. 5.51 ist der ungefähre Bereich angegeben, wo die Entmischung auftritt. Man sieht auch, daß dieser Effekt bei Saturn größer sein muß als bei Jupiter. Für Jupiter liegen mittlerweile konkrete Modellrechnungen vor. Danach erreichen Druck und Temperatur im Bereich zwischen 10000 km und 13000 km unter der Wolkenbedeckung die Werte, wo eine Trennung von Wasserstoff und Helium unausweichlich wird. Im Gegensatz zum Wasserstoff, der in dieser Region in seine metallische Form übergeht, ist das bei Helium nicht der Fall mit der Konsequenz, daß Helium quasi „auskondensiert“ und Tröpfchen in der metallischen Flüssigkeit bildet (H-He-Phasentrennung). Diese Tröpfchen sinken dann aufgrund ihrer höheren Dichte langsam in Richtung Zentrum des Planeten („Heliumregen“) bis sie in eine Tiefe gelangen wo die Temperatur soweit angestiegen ist, daß sie wieder in Lösung treten können. Dieser Vorgang hat durchaus beobachtbare Konsequenzen (Wilson, Militzer, 2010) und zwar in einer meßbaren Verarmung der Jupiteratmosphäre an Helium (bei Jupiter um den Faktor 3 gegenüber der solaren Häufigkeit, die als repräsentativ für das protosolare Gas angesehen wird) und, besonders auffällig, am Edelgas Neon (Neon kommt in der Jupiteratmosphäre rund 30-mal seltener vor als in der Sonnenatmosphäre). Neon wiederum löst sich außergewöhnlich gut in Helium, so daß es durch den „Heliumregen“ sehr effektiv aus der Atmosphäre der Gasplaneten ausgewaschen werden kann.
Dieser Effekt beeinflußt auch die „Eigenleuchtkraft“ eines Gasplaneten, da beim „Abregnen“ des Heliums potentielle Gravitationsenergie thermalisiert wird. So kann z.B. die Leuchtkraft des Saturn (er strahlt rund das 2.3-fache an Energie ab als er von der Sonne erhält) allein durch eine einfache Kontraktion durch Abkühlung nicht erklärt werden. Aufgrund des im Vergleich zu Jupiter ausgedehnteren layers of immiscibility wird bei diesem Prozeß jedoch genügend Wärme frei, um das abnorme Emissionsverhaltens Saturns im infraroten Spektralbereich quantitativ und qualitativ erklären zu können.
Und noch ein weiterer Gesichtspunkt ist in diesem Zusammenhang zu erwähnen. Da die Schicht, in der Helium „ausregnen“ kann, einen Temperaturgradienten ausbilden muß, der durch die Sättigungskurve im Phasendiagramm von Helium determiniert ist, wird sie den Wärmetransport durch Konvektion behindern, was andererseits natürlich wieder Auswirkungen auf den gesamten Wärmehaushalt des Planeten hat. Die Ausbildung einer Entmischungszone im inneren eines Gasplaneten beeinflußt deshalb in erheblichem Ausmaß dessen Abkühlungsgeschichte.
Die Kenntnis realistischer Zustandsgleichungen in der Form P=P(T,ρ,x), wobei x, ρ und T jeweils Funktionen des Drucks sind (der Druck P wird deshalb als Argument gewählt, da er eine zum Zentrum hin monoton steigende Funktion ist, die der Gleichung für das hydrostatische Gleichgewicht (1.3) genügen muß), ist eine Voraussetzung, um realistische Modelle des Innern von Gasplaneten berechnen zu können. Aus solchen Modellen folgt u.a. das Masse/Radius – Verhältnis, welches wiederum ein Beobachtungsparameter ist, mit dem sich Planetenmodelle zumindest prinzipiell an der Empirie messen lassen.
Zustandsgleichungen für „Eis“
Der Terminus „Eis“, wie er bei den Großplaneten Uranus und Neptun Verwendung findet, wird in der Planetologie für Mischungen aus volatilen Stoffen wie Wasser (H2O), Methan (CH4) und Ammoniak (NH3) verwendet. Dabei kommt es weniger auf die „Unversehrtheit“ der Moleküle als vielmehr auf die Mengenverhältnisse der schwereren Elemente, die diese Stoffe bilden, an. Diese wiederum hängen von der kosmischen Häufigkeit der Elemente Sauerstoff, Kohlenstoff und Stickstoff am Ort der Planetenentstehung ab. Exoplaneten mit einem hohen „Eisanteil“ werden besonders im inneren Bereich (Bulge) einer Galaxie häufiger vorkommen, weil gerade dort eine starke Anreicherung der interstellaren Materie mit „Metallen“ über den Verlauf vieler Generationen massereicher Sterne erfolgt ist (die Fusion von Kohlenstoff erfordert eine Sternmasse von mindestens 4 Sonnenmassen).
Zur empirischen Bestimmung der Zustandsgleichung dieser unter planetaren Bedingungen als heiße und extrem dichte Flüssigkeit vorliegenden Stoffgemische („synthetischer“ Uranus oder Neptun) wurde von verschiedenen Forschungsgruppen Schockwellenexperimente durchgeführt, um deren Eigenschaften bis hin zu experimentell gerade noch erreichbaren Drücken um 200 GPa und bei Temperaturen von bis zu 4000 K zu ermitteln. Dabei wurde festgestellt, das ab einem Druck von ~200 MPa Ionisation einsetzt. Die Konsequenz davon ist, daß die Flüssigkeit beginnt elektrisch leitfähig zu werden. Erreicht der Druck einen Wert von ungefähr 100 GPa, dann setzen Dissoziationsprozesse ein und die Moleküle lösen sich sukzessive in ihre atomaren Bestandteile auf. Die Dichte verändert sich dabei nur noch sehr wenig bei zunehmendem Druck, weshalb die hier gültige Zustandsgleichung gewöhnlich als „steif“ bezeichnet wird.
Die druckbedingte Dissoziation der Moleküle führt zu weiteren interessanten Konsequenzen, die Gegenstand der Forschung sind. So kann sich z.B. der druckbedingt aus Methan freigesetzte Kohlenstoff (Methan liefert 10 bis 15% der Masse von Uranus und Neptun) unter gewissen Bedingungen in Graphit umwandeln. Ob unter den Temperatur- und Druckbedingungen der neptunartigen Großplaneten auch die besonders dicht gepackte Modifikation von Kohlenstoff in merklicher Menge entsteht, die jedermann als Diamant bekannt ist, erscheint nach neueren Untersuchungen als eher unwahrscheinlich, kann aber bei einigen Typen von Exoplaneten auch nicht ganz ausgeschlossen werden (L.M. Ghiringhelli et.al. 2007). Die hübsche Vorstellung, daß es auf Uranus oder Neptun große Diamanten hageln könnte, muß jedoch nach neuen Untersuchungen mit verbesserten Modellen leider begraben werden. Die 1999 aus Hochdruckexperimenten mit Methan abgeleiteten „Diamantenniederschläge“, die selbst von der Boulevardpresse registriert wurden, sind damit quasi vom Tisch.
Zustandsgleichungen für „Gesteine“
Als „Gesteine“ (rocks) werden Materialien, die einen großen Anteil an Silikaten, Oxiden, Sulfiden und Metallen enthalten, bezeichnet. Über das Verhalten dieser Stoffe unter den Bedingungen, wie sie im Kernbereich von Gasplaneten herrschen, ist nur wenig bekannt. Auch hier gilt, daß es lediglich auf die Mischungsverhältnisse der Stoffe ankommt, da sie bei extrem hohem Druck eh nur als dichte Ionengemische vorliegen. Nur bei moderaten Drücken, wie sie beispielsweise im Innern erdartiger Gesteinsplaneten vorkommen, bestimmen kristalline Strukturen (die man direkt konkreten Mineralen zuordnen kann, z.B. Olivine) deren Zustandsgleichungen. Sie konnten bei Hochdruckexperimenten z.T. schon recht gut erforscht werden. Die Interpolation der Daten in Druck- und Temperaturbereiche, wie sie in Gasplaneten realisiert sind, gelingt jedoch nur unzureichend und folgt mehr theoretischen mikrophysikalischen Gesichtspunkten als dem Experiment. Andererseits sind die Massen der zu erwarteten Gesteinskerne im Vergleich zur Gesamtmasse eines Gasplaneten so gering, daß sie keine ernstzunehmenden Hindernisse bei der Entwicklung von Planetenmodellen darstellen.
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